Родился в семье князя Ивана Григорьевича, отпрыска рода Гедиминовичей, и Феодосии Алексеевны, урождённой княжны Одоевской (ум. 1677). Крестник царя Фёдора Алексеевича.
В детстве много болел.
В 1682 году его отец был отправлен на воеводство в Смоленск, где он умер от каменной болезни (болезни почек). После этого Бориса, его брата Михаила и сестру Марию (от второго брака Ивана Григорьевича с Марией Петровной Урусовой, ум. 1684) воспитывала их мачеха.
С 1683 года входил в ближайшее окружении Петра I , был его спальником, принимал участие в военных потехах близ слободы Семёновская. С организацией «потешных полков» — в Семёновском полку, в составе которого участвовал в обоих Азовских походах, поручик, с 1696 года — капитан.
В 1696 году направлен в Италию для изучения морского дела, фортификации и математики.
С началом Северной войны участвовал в походе под Нарву (1700), затем участвовал в осаде и взятии Нотебурга (1702), Ниеншанца (1703) и Нарвы (1704), в 1703 году получил чин майора лейб-гвардии Семёновского полка.
В 1705—1706 годах находился за границей на лечении, посетил Германию, Нидерланды, Англию. По возвращении 19 января 1707 года в Жолкве пожалован в полуполковники лейб-гвардии Семёновского полка, но вскоре направлен в Италию с дипломатической миссией, в том числе в Рим настаивать на непризнании папой Станислава Лещинского королём Польши.
С началом похода Карла XII против России в 1708 году вернулся в армию, командовал Семёновским и Астраханским полками в дивизии князя А. Д. Меншикова , в 1709 году командовал Семёновским полком в Полтавской битве, но не был отмечен никакими наградами.
С 1709 по 1712 годы Б. И. Куракин был представителем России в Лондоне, в Ганновере и в Гааге, в 1713 году, получив чин тайного советника, участвовал в Утрехтском конгрессе в качестве полномочного представителя России; в 1715 году подписал Грейфсвальдский союзный договор с Ганновером, с 1716 года состоял послом в Париже. Высочайшим рескриптом от 14 сентября 1714 года произведен из подполковников гвардии в чин генерал-майора.
В 1717 году награждён орденом Святого Андрея Первозванного; 30 августа 1725 года стал кавалером ордена Св. Александра Невского; 14 ноября 1725 года произведён в действительные тайные советники.
В 1722 году Пётр Великий , отправляясь в Персидский поход, поручил ему руководство всеми послами России, аккредитованными при европейских дворах. В 1724 году он послан послом в Париж, где и умер в 1727 году. Многие из его потомков также сделали блестящую карьеру в дипломатии.
Б. И. Куракин завещал устроить в Москве странноприимный дом («шпиталь») для содержания 12 бедных офицеров дворянского звания и составил его регламент. Во исполнение воли отца Александр Куракин в 1730-е гг. организовал в Басманной слободе т. н. Куракинскую богадельню.
Будучи одним из образованнейших людей своего времени, Куракин в своих трудах часто прибегает к голландскому, французскому и итальянскому языкам. Его перу принадлежат дневник и путевые записки, автобиография, доведённая до 1709 года, история русско-шведской войны, политические записки, обширная деловая и семейная переписка. Он задумал писать полную историю России, в которой предполагал, главным образом, остановиться на царствовании Петра , но успел лишь составить подробное оглавление этого труда и «Историю о царе Петре Алексеевиче и ближних к нему людях 1682—1694 гг.».
Был женат дважды и имел пятерых детей.
жена с 1691 года Ксения Фёдоровна Лопухина (1677—февраль 1698), родная сестра Евдокии Лопухиной , первой жены Петра I . Умерла от чахотки.
Татьяна (1 (14) января 1696—1757) — вторая супруга генерал-фельдмаршала князя М. М. Голицына;
Александр (31 июля (13 августа) 1697—1749) — обер-шталмейстер, женат на Александре Ивановне Паниной (1711—1786);
жена с ноября 1699 года княжна Мария Фёдоровна Урусова (ум.1731), дочь боярина Фёдора Семёновича Урусова, племянница царицы Агафьи Семёновны
Сергей, родившийся в 1700 г. Он умер спустя полтора года;
Екатерина (25 октября (7 ноября) 1703—1772), в 1718 году была невестой графа М. Г. Головкина, об этом браке хлопотал его отец, но безуспешно. С 1730 года вторая супруга генерал-фельдмаршала графа А. Б. Бутурлина;
Василий.
