Дело вот в чем: как только становится понятным, что первые четыре аксиомы применимы ко многим разным геометриям, тогда любая теорема, доказанная Евклидом на основании этих аксиом, должна быть истинной не только в евклидовой геометрии, но и во всех остальных геометриях, в которых верны эти аксиомы.
И эти теоремы касаются не просто абстрактных геометрий, созданных только ради того, чтобы доказать какую-то мысль. В постэйнштейновскую эпоху мы понимаем, что неевклидова геометрия — не просто игра. Нравится вам это или нет, но именно так в действительности выглядит пространственно-временной континуум.
Такая история повторяется в области математики снова и снова: мы разрабатываем метод, применимый к решению одной задачи, и, если это хороший метод (то есть метод, содержащий поистине новую идею), в большинстве случаев мы обнаруживаем, что то же самое доказательство работает во многих ситуациях, которые могут отличаться от исходной ситуации в такой же мере, в какой сфера отличается от плоскости, или даже больше.