Несмотря на то, что европейская математика, начиная с Евклида, весьма негативно относилась к чувственному опыту — отсюда фундаментальное для математической науки требование логически доказывать даже то, что представляется самоочевидным — например, что прямая линия, соединяющая две точки, короче любой кривой или ломаной линии, которая их тоже соединяет. Все-таки прежде математики охотно обращались к интуиции, к наглядному представлению, и не только неявно, при формулировании исходных определений и аксиом, но даже при доказательстве теорем (напри-
мер, используя прием наложения одной фигуры на другую). Так обстоит дело, в частности, у Евклида. Теперь правомерность интуитивных представлений была подвергнута радикальному сомнению. В итоге были обнаружены серьезные логические промахи в «Началах» Евклида.
Кроме того, математика в новое время развивалась настолько быстро, что сами математики не успевали осмыслить и привести в стройную систему свои открытия. Они часто просто пользовались новыми методами, поскольку те давали хорошие результаты, и не заботились об их строгом логическом обосновании. Когда время безудержного экспериментирования в математике прошло, и стали разбираться в основаниях математических доказательств, то оказалось, что в основе математики имеется немало весьма сомнительных понятий. Анализ бесконечно малых блестяще себя оправдал в практике вычислений, но что такое бесконечно малая величина, никто толком сказать не мог. Более того, оказалось, что определить сам предмет математики, указать, чем именно она занимается и чем должна заниматься, невероятно трудно.
Старое традиционное определение математики как науки о количестве теперь было признано неудовлетворительным, и Ч. Пирс определил математику как науку, которая выводит необходимые заключения, а Гамильтон и Морган — как науку о чистом пространстве и времени. Дело кончилось тем, что Рассел дал свою парадоксальную характеристику математике, сказав, что это доктрина, в которой мы никогда не знаем ни того, о чем говорим, ни верно ли то, что мы говорим.