Настоящая книга посвящена в основном теории конечных систем линейных неравенств и алгебраическим методам их решения. В ней эта теория строится методами линейной алгебры, дополненными финитными методами, вытекающими из предположения об упорядоченности основного поля. Эти методы используются в ней также для изучения некоторых классов бесконечных систем линейных неравенств.
Излагаемая в книге алгебраическая теория линейных неравенств охватывает все основные результаты, относящиеся к конечным системам линейных неравенств с действительными коэффициентами и свободными членами, давая им алгебраическую трактовку. Включает она, в частности, и все основные результаты теории линейного программирования. В книге даются также алгебраические методы решения конечных систем линейных неравенств. Переход от поля действительных чисел к произвольному упорядоченному полю внес определенную четкость в изложение теории линейных неравенств, не вызвав усложнения его в целом. Само собой разумеется, что ни одна деталь изложения в настоящей книге не изменится, если везде в нем основным полем считать поле действительных чисел.
Настоящая книга возникла на основе лекций по линейным неравенствам, читавшихся автором в 1956-1959 гг. в Пермском университете и в 1961 -1963 гг. в Свердловском университете. Центральным предложением в этих лекциях был установленный автором принцип граничных решений, утверждающий, что в каждой совместной конечной системе линейных неравенств над полем действительных чисел, имеющей любой отличный от нуля ранг, можно выделить хотя бы одну такую подсистему того же ранга и с равным ему числом неравенств, каждое решение которой, обращающее все ее неравенства в равенства, удовлетворяет исходной системе. Из принципа граничных решений и теоремы Минковского - Фаркаса о зависимых неравенствах в лекциях выводились многие теоремы о конечных системах линейных неравенств над полем действительных чисел. В настоящей книге принцип граничных решений доказывается (алгебраическими финитными методами) для конечных систем линейных неравенств над произвольным упорядоченным полем и кладется в основание теории таких систем; отмечавшаяся здесь теорема Минковского - Фаркаса доказывается при этом на его основе.
Настоящая книга посвящена в основном теории конечных систем линейных неравенств и алгебраическим методам их решения. В ней эта теория строится методами линейной алгебры,…
